Tipos de sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican según su solución o según sus términos independientes.

Según su solución

Se clasifican en:

Compatibles

Cuando el sistema tiene solución.

Compatibles determinados

Cuando la solución del sistema es única.

Ejemplo 1: Sistema compatible determinado con dos incógnitas (solución única)

\left\{\begin{matrix}&2x&+&y&=&&5\\&x&-&3y&=&-&1\end{matrix}

La solución del sistema es el punto x=2, y=1 en el plano cartesiano.

Ejemplo 2: Sistema compatible determinado con tres incógnitas (solución única)

\left\{\begin{matrix}&x&-&2y&+&z&=&&7\\&2x&+&y&-&3z&=&-&1\\&3x&-&2y&+&z&=&&13\end{matrix}

La solución del sistema es el punto x=3, y=-1, z=2 en el espacio tridimensional.

Compatibles indeterminados

Cuando el sistema tiene infinitas soluciones.

Ejemplo 1: Sistema compatible indeterminado con dos incógnitas (infinitas soluciones)

\left\{\begin{matrix}&2x&+&y&=&&5\\&4x&+&2y&=&&10\end{matrix}

La solución del sistema es x=x, y=5-2x; x \in \mathbb{R}, la cual representa una recta en el plano cartesiano.

Ejemplo 2: Sistema compatible indeterminado con tres incógnitas (infinitas soluciones)

\left\{\begin{matrix}&3x&-&1y&+&2z&=&&2\\-&2x&+&3y&-&z&=&-&1\\&x&+&2y&+&z&=&&1\end{matrix}

La solución del sistema es x=5y, y=y, z=1-7y; y \in \mathbb{R}, la cual representa la ecuación de una recta en el espacio tridimensional.

Incompatibles

Cuando el sistema no tiene solución.

Ejemplo 1: Sistema incompatible con dos incógnitas (sin solución)

\left\{\begin{matrix}&2x&+&y&=&&5\\&2x&+&y&=&&1\end{matrix}

El sistema no tiene solución ya que las ecuaciones representan rectas paralelas entre sí en el plano cartesiano.

Ejemplo 2: Sistema incompatible con tres incógnitas (sin solución)

\left\{\begin{matrix}&2x&-&y&+&3z&=&&1\\&x&+&2y&-&z&=&-&2\\-&4x&+&2y&-&6z&=&&6\end{matrix}

El sistema no tiene solución ya que las ecuaciones representan dos planos paralelos entre sí que intersecan un tercer plano en el espacio tridimensional.

Ejemplo 3: Sistema incompatible con tres incógnitas (sin solución)

\left\{\begin{matrix}&x&+&y&+&z&=&&0\\&x&+&y&+&z&=&&1\\&x&+&y&+&z&=&&2\end{matrix}

El sistema no tiene solución ya que las ecuaciones representan tres planos paralelos entre sí en el espacio tridimensional.

Ejemplo 4: Sistema incompatible con tres incógnitas (sin solución)

\left\{\begin{matrix}&x&+&y&+&z&=&&0\\&x&+&y&+&z&=&&1\\&x&-&y&&&=&&0\end{matrix}

El sistema no tiene solución ya que las ecuaciones representan dos planos paralelos entre sí que intersecan un tercer plano en el espacio tridimensional.

Este ejemplo es parecido al ejemplo 2 anterior.

Ejemplo 5: Sistema incompatible con tres incógnitas (sin solución)

\left\{\begin{matrix}&x&+&y&+&2z&=&&0\\&x&-&y&&&=&&0\\&x&+&y&&&=&&1\end{matrix}

El sistema no tiene solución ya que no hay puntos comunes a los tres planos.

Este ejemplo es parecido al ejemplo 2 anterior.

Según sus términos independientes

Se clasifican en:

Homogéneos

Cuando todos los términos independientes son iguales a cero.

En este caso el sistema siempre tiene solución; si la solución es única se le llama solución trivial, donde todas las variables son cero.

Puede tener infinitas soluciones, no todas nulas, donde la solución trivial está incluida.

Ejemplo 1: Sistema homogéneo con dos ecuaciones y dos incógnitas

\left\{\begin{matrix}&2x&+&y&=&&0\\&x&-&3y&=&&0\end{matrix}

Ejemplo 2: Sistema homogéneo con tres ecuaciones y tres incógnitas

\left\{\begin{matrix}&3x&-&y&+&2z&=&&0\\-&2x&+&3y&-&z&=&&0\\&x&+&2y&+&z&=&&0\end{matrix}

Ejemplo 3: Sistema homogéneo con tres ecuaciones y dos incógnitas

\left\{\begin{matrix}&3x&-&5y&=&&0\\&2x&+&y&=&&0\\&x&-&y&=&&0\end{matrix}

No homogéneos

Cuando algún término independiente es distinto de cero; en este caso el sistema puede tener solución única, infinitas soluciones o no tener solución.

Ejemplo 1: Sistema no homogéneo con dos ecuaciones y dos incógnitas

\left\{\begin{matrix}&2x&+&y&=&&2\\&x&-&3y&=&&0\end{matrix}

Ejemplo 2: Sistema no homogéneo con tres ecuaciones y tres incógnitas

\left\{\begin{matrix}&3x&-&y&+&2z&=&&1\\-&2x&+&3y&-&z&=&&5\\&x&+&2y&+&z&=&&2\end{matrix}

Ejemplo 3: Sistema no homogéneo con tres ecuaciones y dos incógnitas

\left\{\begin{matrix}&3x&-&5y&=&&0\\&2x&+&y&=&-&2\\&x&-&y&=&&0\end{matrix}

Sistemas equivalentes

Para que puedas entender lo que son sistemas equivalentes, es necesario que tratemos primero las ecuaciones equivalentes.

Supongamos que tienes en un plato de una balanza un bote azul que pesa a kg y dos verdes que pesan v kg cada uno, de forma que entre los tres suman 7 kg. Esto lo puedes expresar como una ecuación de la forma a+2v=7.

Observa que al colocar una pesa de 7 kg en el segundo plato de la balanza, ésta de mantiene equilibrada.


Ahora, si en ambos platos colocas una pesa de 3 kg, la balanza seguirá equilibrada porque el peso entre ambos platos sigue siendo igual.

Esta última acción la puedes escribir en la ecuación de la siguiente forma: a+2v+3=7+3, es decir, a+2v+3=10.


Esta ecuación a+2v+3=10 y la primera ecuación planteada a+2v=7 tienen la misma solución, por lo que decimos que son ecuaciones equivalentes.

De manera similar, si en vez de sumar la misma cantidad en ambos miembros de la ecuación, los multiplicas por la misma cantidad, ambas ecuaciones tendrán la misma solución.

Recuerda que:

Si sumas una misma cantidad a los dos miembros de una ecuación o multiplicas ambos por un mismo número distinto de cero, obtendrás una ecuación equivalente a la ecuación dada.

Ya que has entendido el concepto de ecuación equivalente, podemos extender esta idea a la definición de sistemas equivalentes.

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

Operaciones que nos permiten pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente

Ya que conocemos la definición de sistemas equivalentes, necesitamos saber ¿qué operaciones nos permiten pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente?.

Pues bien, estas operaciones son las siguientes:

- Sumar un mismo número a ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema.

- Multiplicar ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema por un número distinto de cero.

- Sumar una ecuación a otra previamente multiplicada por un número cualquiera.

- Despejar una incógnita en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

Ejemplo 1: Sistema equivalente mediante suma de un número a ambos miembros

Si sumas un mismo número a ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema obtendrás un sistema equivalente.

Fíjate en el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\left\{\begin{matrix}&x&+&y&+&z&=&&0\\&x&+&y&+&z&=&&1\\&x&+&y&+&z&=&&2\end{matrix}

Cuando sumas 3 a ambos miembros de la segunda ecuación obtienes el siguiente sistema de ecuaciones equivalente:

\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&&&=&&0\\x&+&y&+&z&+&3&=&&4\\x&+&y&+&z&&&=&&2\end{matrix}

Ejemplo 2: Sistema equivalente mediante multiplicación de ambos miembros por un número

Al multiplicar ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema por un número distinto de cero también puedes obtener un sistema de ecuaciones equivalente:

\left\{\begin{matrix}&x&+&y&+&z&=&&0\\&x&+&y&+&z&=&&1\\&x&+&y&+&z&=&&2\end{matrix}

Si multiplicas por 3 ambos miembros de la segunda ecuación obtendrás el siguiente sistema de ecuaciones equivalente:

\left\{\begin{matrix}&x&+&y&+&z&=&&0\\&3x&+&3y&+&3z&=&&3\\&x&+&y&+&z&=&&2\end{matrix}

Ejemplo 3: Sistema equivalente mediante suma de una ecuación a otra

Cuando sumas una ecuación a otra previamente multiplicada por un número cualquiera lograrás obtener un sistema equivalente.

Observa el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\left\{\begin{matrix}&x&+&y&+&z&=&&0\\&x&+&y&+&z&=&&1\\&x&+&y&+&z&=&&2\end{matrix}

Suma a la tercera ecuación 4 veces la segunda para que obtengas el siguiente sistema de ecuaciones equivalentes:

\left\{\begin{matrix}&x&+&y&+&z&=&&0\\&x&+&y&+&z&=&&1\\&5x&+&5y&+&5z&=&&6\end{matrix}

Fíjate que primero multiplicamos la segunda ecuación por 4, obteniendo: 4x+4y+4z=4

Luego sumamos esta ecuación completa a la tercera ecuación:

4x+x+4y+y+4z+z=4+2

5x+5y+5z=6

Ejemplo 4: Sistema equivalente mediante despeje de una ecuación y sustitución en otra

Cuando despejas una incógnita en una ecuación y sustituyes la expresión obtenida en la otra ecuación logras un sistema equivalente.

En el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\left\{\begin{matrix}&x&+&2y&-&z&=&&0\\&x&+&y&+&z&=&&1\\&x&+&y&+&z&=&&2\end{matrix}

Despejamos x de la primera ecuación: x=-2y+z y luego la sustituimos en la segunda ecuación para obtener:

\left\{\begin{matrix}x&+&2y&-&z&=&&0\\(-2y+z)&+&y&+&z&=&&1\\x&+&y&+&z&=&&2\end{matrix}

Y al agrupar términos semejantes en la segunda ecuación obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones equivalentes:

\left\{\begin{matrix}&x&+&2y&-&z&=&&0\\&&-&y&+&2z&=&&1\\&x&+&y&+&z&=&&2\end{matrix}

Resumen

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican según su solución o según sus términos independientes.

Según su solución se clasifican en:

Compatibles: cuando el sistema tiene solución.

- Compatibles determinados: cuando la solución del sistema es única.

- Compatibles indeterminados: cuando el sistema tiene infinitas soluciones.

Incompatibles: cuando el sistema no tiene solución.

Según sus términos independientes se clasifican en:

Homogéneos: cuando todos los términos independientes son nulos; en este caso el sistema siempre tiene solución. Puede tener infinitas soluciones, no todas nulas, donde la solución trivial está incluida.

No homogéneos: cuando los términos independientes no son todos nulos; en este caso el sistema puede tener solución única, infinitas soluciones o no tener solución.


Sistemas equivalentes

Los sistemas equivalentes están basados en la idea de las ecuaciones equivalentes, las cuales son todas aquéllas que tienen la misma solución.

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Existen varias operaciones que nos permiten pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente.