Parábola

Observa las imágenes que se presentan a continuación, las cuales te darán la idea de una parábola.

Parábolas a tu alrededor

Parábola

Dados en un plano una recta cualquiera y un punto exterior, se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (c,0), llamado foco (F) y de una recta fija d llamada directriz.

La recta x = -c, recibe el nombre de directriz (d).

El eje x de la parábola es la perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

El parámetro (p) es la distancia entre el foco y la directriz.

El vértice (V) es el punto donde la curva corta al eje, dicho punto se encuentra a igual distancia de la directriz y del foco. La distancia del vértice a la directriz es p/2.

Al segmento que pasa por el foco y es perpendicular al eje se le conoce como lado recto. Tiene sus dos extremos en (c,2c) y (c,-2c).

Cambios en la ecuación de la parábola

Ajusta el valor de c para observar el comportamiento de la parábola.

Ecuación de la Parábola en función del parámetro p

Según la definición de la parábola, \overline{PF}= \overline{PQ} siendo \overline{PF} la distancia desde el foco hasta cualquier punto de la parábola y \overline{PQ} la distancia desde P hasta la recta directriz.

En la figura anterior observamos que se forma un triángulo rectángulo \triangle FNP con ángulo recto en N; de tal manera que podemos aplicar el teorema de Pitágoras en este triángulo.

De la aplicación de este teorema es posible determinar la ecuación de la parábola como y^2 = 4cx cuando la directriz es vertical o como x^2 = 4cy cuando la directriz es horizontal.

Desarrollo de la ecuación de la parábola utilizando el parámetro p

Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo \triangle FNP con ángulo recto en N.

{\overline{PF}}^2 = {\overline{FN}}^2 +{\overline{NP}}^2

Pero:

{\overline{NP}}^2 = y^2

{\overline{FN}}^2 = {(x-p/2)}^2 en el cual \ \ x = \overline{VN}

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la relación del triángulo:

{\overline {PF}}^2 = {(x-p/2)}^2 + y^2

Aplicando raíz cuadrada:

PF = \sqrt{{(x-p/2)}^2 + y^2}  

Por ser \overline{PQ} una distancia horizontal:

\overline{PF} = \overline{PQ} =  \mid x -(-p/2) \mid = \mid x + p/2 \mid

Sustituyendo la ecuación anterior en la distancia PF:

(x+p/2) = \sqrt{{(x-p/2)}^2 + y^2}

Elevando al cuadrado ambos miembros:

{(x+p/2)}^2 = {(x-p/2)}^2 + y^2

Desarrollando los productos:

x^2 + px +{(p/2)}^2= x^2 - px +{(p/2)}^2+ y^2

Operando y agrupando términos:

y^2  = px + px

y^2 = 2px

Pero, en la figura, el parámetro p\ =\ 2c; por lo tanto, la ecuación de la parábola es:

y^2 = 4cx

Ésta es la ecuación de la parábola cuando la directriz es paralela al eje de las ordenadas (directriz vertical).

Ahora bien, una parábola cuyo foco está en el eje y cuya directriz es y = -c tiene por ecuación:

x^2 = 4cy

Ten en cuenta que

En la ecuación de la parábola con directriz vertical, si 4c es positivo (mayor que cero) la parábola abre hacia la derecha, si 4c es negativo (menor que cero) abre hacia la izquierda.

En la ecuación ecuación de la parábola con directriz horizontal, si 4c es positivo (mayor que cero) la parábola abre hacia arriba, si 4c es negativo (menor que cero) abre hacia abajo.

Ubicando la parábola para que el foco esté sobre un eje cartesiano tendremos 4 posibles parábolas.

El término lineal de la ecuación indica sobre cuál eje está ubicado el foco (eje focal), y su signo indica hacia dónde se abre la parábola (positivo: hacia arriba o derecha, negativo: hacia abajo o izquierda).

Observa las gráficas resultantes para cada caso:

Parábola con directriz vertical y término lineal positivo

Parábola con recta directriz paralela al eje de las ordenadas.

Su factor 4c es positivo, por lo que abre hacia la derecha.

Parábola con directriz vertical y término lineal negativo

Parábola con recta directriz paralela al eje de las ordenadas.

Su factor 4c es negativo, por lo que abre hacia la izquierda.

Parábola con directriz horizontal y término lineal positivo

Parábola con recta directriz paralela al eje de las abcisas.

Su factor 4c es positivo, por lo que abre hacia arriba.

Parábola con directriz horizontal y término lineal negativo

Parábola con recta directriz paralela al eje de las abcisas.

Su factor 4c es negativo, por lo que abre hacia abajo.

Ecuación ordinaria

La ecuación de la parábola de vértice (h,k), cuya directriz es paralela a uno de los ejes coordenados se puede expresar de dos formas.

- Si la directriz es paralela al eje de las abcisas: {(y-k)}^2 = 4c(x-h)

- Si la directriz es paralela al eje de las ordenadas: {(x-h)}^2 = 4c(y-k)

A las ecuaciones anteriores se les denominan ecuación ordinaria de la parábola, en las cuales \mid c \mid es la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.

La gráfica para una parábola con el eje focal paralelo al eje x, el vértice en (h,k) y distancia al foco igual a p, es:


La gráfica para una parábola con el eje focal paralelo al eje y, el vértice en (h,k) y distancia al foco igual a p, es:

Otro sitio web de interés: Parábola en Red Telefónica

Ejemplos resueltos

Problema 1: Gráfica de la parábola

Traza y describe la parábola y^2=8x

Procedimiento

Observa la ecuación y verifica si tiene la forma y^2 = 4cx ó si es de la forma x^2 = 4cy.

De tu observación calcula el valor de c y verifica si la parábola tiene su directriz paralela al eje x o paralela al eje y. Igualmente determina si la parábola abre hacia arriba, abajo, izquierda o derecha.

Luego, determina la ubicación del vértice, del foco y de la recta directriz, para calcular la longitud y los extremos de su lado recto.

Finalmente traza la parábola que has descrito.

Solución

Si observas esta ecuación verás que tiene la forma y^2 = 4cx, en la cual c = 2; por lo tanto, representa una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje focal sobre el eje x.

Además, el foco está en el punto (2,0), su directriz es la recta x = -2, los extremos del lado recto son (2,4) y (2,-4) y su longitud es igual a 8.

Representando todos estos valores en el plano cartesiano obtienes:

Problema 2: Ecuación de la parábola

Deduce la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen y su foco en (-4,0).

Procedimiento

Observa los datos para determinar si el origen y el foco se encuentran sobre el eje x ó sobre el eje y.

De tu observación, determina si la ecuación tiene la forma y^2 = 4cx ó si es de la forma x^2 = 4cy.

Luego, calcula el valor de c y verifica si la parábola tiene el eje focal sobre al eje x o sobre al eje y. Igualmente determina si la parábola abre hacia arriba, abajo, izquierda o derecha.

Finalmente determina su lado recto y traza la gráfica.

Solución

Como puedes observar, el foco y el vértice se encuentran en el eje x, éste es el eje focal de la parábola. Por lo tanto, la ecuación está dada en la forma de y^2 = 4cx.

Si el foco está dado por el punto (-4,0), entonces c = -4 y la ecuación se expresa con:

y^2 = -16x

Por ser 4c negativo, abre hacia la izquierda. Su representación gráfica es:

Problema 3: Ecuación ordinaria de la parábola

Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (2,5) y cuyo foco es el punto (2,3).

Procedimiento

Observa los datos para determinar si el origen y el foco se encuentran paralelos al eje x ó al eje y.

De tu observación, determina cuál es la forma de la ecuación ordinaria de la parábola..

Luego, calcula el valor de h, k y de c y verifica si la parábola tiene su directriz paralela al eje x o paralela al eje y. Igualmente determina si la parábola abre hacia arriba, abajo, izquierda o derecha.

Finalmente determina su ecuación y traza la gráfica.

Solución

Dado que el vértice y el foco de la parábola están sobre su eje focal y que los dos puntos tienen la misma abscisa 2, observamos que la directriz es paralela al eje x (eje de las abcisas). Por lo tanto, la ecuación de la parábola corresponde a la forma indicada en la ecuación ordinaria de la parábola.

Esto es:

{(x-h)}^2= 4c(y-k), en la cual h = 2 y k = 5, resultando:

{(x-2)}^2 = 4c(y-5)

Así, \mid c \mid = \mid \overline{FV} \mid = \mid 5-3 \mid = 2

Pero como el foco está por debajo del vértice, la parábola abre hacia abajo; por lo tanto, c es negativo. Entonces c = -2 y la ecuación de la parábola es {(x-2)}^2= -8(y-5)

La gráfica resultante es la siguiente:

Otro sitio web de interés: Parábolas en CIDSE

Autoevaluación

Ejercicio 1: Ecuación ordinaria usando vértice y foco

Traza la gráfica y halla la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en (-2,-4) y foco en (-2,3).

a. y+4 = -4{(x+2)}^2

b. y-4= -4{(x+2)}^2

c. y-4 = 4{(x-2)}^2

d. Ninguna de las anteriores

Solución

Opción d.

Ejercicio 2: Ecuación ordinaria usando vértice y foco

Halla la ecuación de la parábola con vértice en el punto (-4,3) y foco en (-1,3). Halla también las ecuaciones de su directriz y su eje focal.

a. {(y-3)}^2 = 12(x+4); x = -7; y = 3

b. {(y+3)}^2= 12(x-4); x = 7; y = 3

c. {(y-3)}^2= 12(x-4); x = 7; y = -3

d. Ninguna de las anteriores

Solución

Opción a.

Ejercicio 3: Ecuación ordinaria usando directriz y foco

La directriz de una parábola es la recta y-1 = 0 y su foco es el punto (4,3). Halla la ecuación de esta parábola.

a. {(x+4)}^2 = -8(y+1)

b. {(x-4)}^2 = 8(y+1)

c. {(x-4)}^2= -8 (y+1)

d. Ninguna de las anteriores

Solución

Opción d.

Ejercicio 4: Ecuación usando vértice y foco

Determina la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco en el punto (0, -3).

a. x^2 = -12y

b. x^2 = 12y

c. y^2 = -12x

d. Ninguna de las anteriores

Solución

Opción a.

Ejercicio 5: Ecuación usando vértice y directriz

Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen y como directriz la recta y = 5.

a. x^2 = 20y

b. x^2 = -20y

c. y^2 = -20x

d. Ninguna de las anteriores

Solución

Opción b.

Ejercicio 6: Ecuación ordinaria usando foco y directriz

Halla la ecuación de la parábola que tiene su foco en el punto (2,0) y su directriz es la recta {x = -2.

Solución

y^2 = 8x

Ejercicio 7: Gráfica a partir de su ecuación

Dada la parábola que tiene por ecuación x^2 = -6y, encuentra las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz y traza su gráfica.

Solución

F(0, - \frac{3}{2}); \ \ \ \ y = \frac{3}{2}

Ejercicio 8: Ecuación ordinaria usando directriz y foco

Determina el vértice y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto (4, 2).

Solución

{V (3,2); \ \ \ \ y^2 - 4y -4x +16 = 0

Ejercicio 9: Descripción a partir de su ecuación

Determina el vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es 3x^2 - 3x -24y -1 = 0.

Solución

V(\frac{1}{2} , - \frac{7}{96})

F(\frac{1}{2} , \frac{185}{96})

y = - \frac{199}{96}