Operaciones elementales entre filas

Además de las operaciones usuales definidas en el conjunto \mathcal{M}_{m \times n}: adición, multiplicación de un escalar, multiplicación y transposición, existen operaciones que se realizan entre los elementos de algunas filas o columnas de una matriz, llamadas operaciones elementales.

Estas operaciones son de gran importancia y utilidad debido a que, la aplicación de una o varias de ellas permite obtener unas determinadas matrices llamadas matrices equivalentes.

Estas matrices, por sus características, se relacionan entre sí en muchos atributos importantes tales como: rango, determinante, solución de un sistema de ecuaciones lineales y combinación lineal.

Existen diversas matrices equivalentes, pero las que más se buscan son las matrices escalonadas y las matrices escalonadas reducidas por filas debido a que sus características las hacen más fácil de operar y por lo tanto, cuando quieras determinar esos atributos de una matriz cualquiera, en vez de trabajar con la matriz original, lo haces con su matriz equivalente escalonada o escalonada reducida por filas.

Pero, ¿cuáles son las operaciones elementales de una matriz?. Vamos a estudiarlas a continuación.

Operaciones elementales de una matriz

Una operación elemental por filas o por columnas en una matriz A\in\mathcal{M}_{m \times n}, es alguna de las siguientes tres que se le aplique a los elementos de ciertas filas o columnas:

Intercambio de filas o columnas

Consiste en intercambiar dos filas o dos columnas de la matriz A.

Su notación matricial es: f_{i}(A)\leftrightarrow f_{j}(A) o c_{i}(A)\leftrightarrow c_{j}(A)

A=\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{i1}&A_{i2}&\cdots&A_{in}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{j1}&A_{j2}&\cdots&A_{jn}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)\stackrel{f_{i}(A)\leftrightarrow f_{j}(A)}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{j1}&A_{j2}&\cdots&A_{jn}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{i1}&A_{i2}&\cdots&A_{in}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)=A_{1}

Fíjate que se intercambiaron la fila i con la fila j de A; es decir, los elementos de la fila i de A cambian de posición a la fila j y viceversa, pero conservan la posición de la columna, resultando una nueva matriz A_{1}.

A=\left(\begin{array}{ccccccc}A_{11}&\cdots&A_{1i}&\cdots&A_{1j}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&\cdots&A_{2i}&\cdots&A_{2j}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&\cdots&A_{mi}&\cdots&A_{mj}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)\stackrel{c_{i}(A)\leftrightarrow c_{j}(A)}{\rightarrow}

\left(\begin{array}{ccccccc}A_{11}&\cdots&A_{1j}&\cdots&A_{1i}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&\cdots&A_{2j}&\cdots&A_{2i}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&\cdots&A_{mj}&\cdots&A_{mi}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)=A_{2}

Fíjate que en este caso se intercambiaron la columna i con la columna j de A; es decir, los elementos de la columna i de A cambian de posición a la columna j y viceversa, pero conservan la posición de la fila, resultando una nueva matriz A_{2}.

Multiplicación de un escalar por una fila o columna

Consiste en multiplicar un escalar distinto de cero por una fila o por una columna de A.

Su notación matricial es: \alpha f_{i}(A) o \alpha c_{i}(A)

A=\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{i1}&A_{i2}&\cdots&A_{in}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)\stackrel{\alpha f_{i}(A)}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\\alpha A_{i1}&\alpha A_{i2}&\cdots&\alpha A_{in}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)=A_{3}

Observa que en ese caso se multiplicó el escalar \alpha por la fila i de A; es decir, los elementos de la fila i de A cambian el valor numérico por \alpha veces su valor, resultando una nueva matriz A_{3}.

A=\left(\begin{array}{cccccc}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1i}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2i}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mi}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)\stackrel{\alpha c_{i}(A)}{\rightarrow}

\left(\begin{array}{cccccc}A_{11}&A_{12}&\cdots&\alpha A_{1i}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&\alpha A_{2i}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&\alpha A_{mi}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)=A_{4}

Observa que en ese caso se multiplicó el escalar \alpha por la columna i de A; es decir, los elementos de la columna i de A cambian el valor numérico por \alpha veces su valor, resultando una nueva matriz A_{4}.

Sustitución de una fila o columna por la suma de ella más el múltiplo de otra fila o columna

Consiste en sustituir una fila completa o una columna completa de A por la suma de la misma fila (o columna) más el múltiplo de otra fila o columna.

Su notación matricial es: f_{i}(A)\rightarrow f_{i}(A)+\alpha f_{j}(A) o c_{i}(A)\rightarrow c_{i}(A)+\alpha c_{j}(A)

A=\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{i1}&A_{i2}&\cdots&A_{in}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{j1}&A_{j2}&\cdots&A_{jn}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)\stackrel{f_{i}(A)\rightarrow f_{i}(A)+\alpha f_{j}(A)}{\rightarrow}

\left(\begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{i1}+\alpha A_{j1}&A_{i2}+\alpha A_{j2}&\cdots&A_{in}+\alpha A_{jn}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{j1}&A_{j2}&\cdots&A_{jn}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)=A_{5}

Fíjate que se sustituyó la fila i de A por la suma de ella más \alpha veces la fila j de A; es decir, los elementos de la fila i de A cambian el valor numérico por la suma del elemento de la fila i más \alpha veces el elemento de la fila j, resultando una nueva matriz A_{5}.

A=\left(\begin{array}{ccccccc}A_{11}&\cdots&A_{1i}&\cdots&A_{1j}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&\cdots&A_{2i}&\cdots&A_{2j}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&\cdots&A_{mi}&\cdots&A_{mj}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)\stackrel{c_{i}(A)\rightarrow c_{i}(A)+\alpha c_{j}(A)}{\rightarrow}

\left(\begin{array}{ccccccc}A_{11}&\cdots&A_{1i}+\alpha A_{1j}&\cdots&A_{1j}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&\cdots&A_{2i}+\alpha A_{2j}&\cdots&A_{2j}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&\cdots&A_{mi}+\alpha A_{mj}&\cdots&A_{mj}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)=A_{6}

Fíjate que se sustituyó la columna i de A por la suma de ella más \alpha veces la columna j de A; es decir, los elementos de la columna i de A cambian el valor numérico por la suma del elemento de la columna i más \alpha veces el elemento de la columna j, resultando una nueva matriz A_{6}.

Por lo tanto, las operaciones elementales se le aplican a los elementos de algunas filas o columnas de una matriz de cualquier tamaño, resultando una nueva matriz del mismo tamaño con los elementos transformados de la matriz original.

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

Si A=\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\-8&0&1&3\\9&1&0&5\end{array}\right), entonces se le pueden aplicar las siguientes operaciones:

1. Se intercambia la fila 1 con la fila 3 de A; es decir, los elementos de la fila 1 de A cambian la posición de fila (de la fila 1 a la fila 3 y viceversa), pero conservan la posición de la columna, resultando una nueva matriz B.Observa:

A=\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\-8&0&1&3\\9&1&0&5\end{array}\right)\stackrel{f_{1}(A)\rightarrow f_{3}(A)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{cccc}9&1&0&5\\-8&0&1&3\\4&3&-2&5\end{array}\right)=B

En esta matriz B, la fila 1 y la fila 3 son: f_{1}(B)=f_{3}(A) y f_{3}(B)=f_{1}(A).

2. Se multiplica el escalar -5 por la fila 3 de A; es decir, los elementos de la fila 3 de A cambian el valor numérico por -5 veces su valor, resultando una nueva matriz C.

A=\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\-8&0&1&3\\9&1&0&5\end{array}\right)\stackrel{(-5)f_{3}(A)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\-8&0&1&3\\-45&-5&0&-25\end{array}\right)=C

En esta matriz C, la fila 3 es: f_{3}(C)=(-5)f_{3}(A)

3. Se sustituye la fila 2 por la suma de ella más 3 veces la fila 1 de A; es decir, los elementos de la fila 2 de A cambian el valor numérico por la suma del elemento de la fila 2 más 3 veces el elemento de la fila 1, resultando una nueva matriz D.

A=\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\-8&0&1&3\\9&1&0&5\end{array}\right)\stackrel{f_{2}(A)\rightarrow f_{2}(A)+3f_{1}(A)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\4&9&-5&18\\9&1&0&5\end{array}\right)=D

En esta matriz D, la fila 2 es: f_{2}(D)=f_{2}(A)+3f_{1}(A)

Ejercicios propuestos

Responde si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

En caso de ser verdadera, presenta un ejemplo y de lo contrario, muestra un contraejemplo.

Afirmación 1

Si una matriz B se obtiene de otra matriz A mediante operaciones elementales por filas, entonces A siempre puede obtenerse de B mediante operaciones elementales por filas.

Solución

Verdadero, ya que al obtener a B mediante la aplicación de cualquier operación elemental en A, entonces se puede escoger la operación elemental inversa, aplicársela a B y así obtener a la matriz original A; por ejemplo:

Si se intercambia la fila 1 con la fila 3 de A para obtener a B,

A=\left(\begin{array}{ccc}4&3&-2\\-8&0&1\\9&1&0\end{array}\right)\stackrel{f_{1}(A)\rightarrow f_{3}(A)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{ccc}9&1&0\\-8&0&1\\4&3&-2\end{array}\right)=B

entonces se puede intercambiar la fila 3 con la fila 1 de B para obtener a A:

B=\left(\begin{array}{ccc}9&1&0\\-8&0&1\\4&3&-2\end{array}\right)\stackrel{f_{3}(B)\rightarrow f_{1}(B)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{ccc}4&3&-2\\-8&0&1\\9&1&0\end{array}\right)=A

O si se multiplica el escalar -5 por la fila 3 de A para obtener a C,

A=\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\-8&0&1&3\\9&1&0&5\end{array}\right)\stackrel{(-5)f_{3}(A)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\-8&0&1&3\\-45&-5&0&-25\end{array}\right)=C

entonces se puede multiplicar el escalar -\dfrac{1}{5} por la fila 3 de B para obtener a A,

C=\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\-8&0&1&3\\-45&-5&0&-25\end{array}\right)\stackrel{(-\dfrac{1}{5})f_{3}(C)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\-8&0&1&3\\9&1&0&5\end{array}\right)=A

O si se sustituye la fila 2 por la suma de ella más 3 veces la fila 1 de A para obtener la matriz D,

A=\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\-8&0&1&3\\9&1&0&5\end{array}\right)\stackrel{f_{2}(A)\rightarrow f_{2}(A)+3f_{1}(A)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\4&9&-5&18\\9&1&0&5\end{array}\right)=D

entonces se puede sustituir la fila 2 por la suma de ella más (-3) veces la fila 1 de B para obtener la matriz A:

D=\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\4&9&-5&18\\9&1&0&5\end{array}\right)\stackrel{f_{2}(D)\rightarrow f_{2}(D)+(-3)f_{1}(D)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{cccc}4&3&-2&5\\-8&0&1&3\\9&1&0&5\end{array}\right)=A

Afirmación 2

Una operación elemental es multiplicar una fila por el escalar igual a cero.

Solución

Falso, ya que si se obtiene una matriz B por la operación de multiplicar el escalar cero por cualquier fila de A entonces no existe ninguna operación elemental que permita obtener la matriz original y contradice lo establecido en la afirmación 1.

A=\left(\begin{array}{ccc}1&-5&6\\4&3&1\end{array}\right)\stackrel{0f_{2}(A)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{ccc}1&-5&6\\0&0&0\end{array}\right)=B

Afirmación 3

Mediante la aplicación de cualquier operación elemental se obtiene una matriz que es igual a la original.

Solución

Falso, ya que mediante la aplicación de cualquier operación elemental se obtiene una matriz equivalente que es igual a la original en tamaño pero varían los elementos correspondientes.

A=\left(\begin{array}{cc}2&-1\\4&-2\end{array}\right)\stackrel{f_{1}(A)\rightarrow f_{2}(A)}{\rightarrow}\left(\begin{array}{cc}4&-2\\2&-1\end{array}\right)=B,

pero A\neq B

En definitiva, podemos resaltar que cuando se aplican operaciones elementales por filas de una matriz también se pueden aplicar operaciones elementales entre sus columnas y además, se produce una matriz del mismo tamaño, pero sus elementos no son los mismos ya que han sido modificados dependiendo de la operación que se utilice.

Por lo tanto, a una matriz cualquiera A\in\mathcal{M}_{m \times n} cuando se le aplica cualquier operación elemental se transforma en una matriz distinta B\in\mathcal{M}_{m \times n}. En este caso, se llaman matrices equivalentes.