Igualdad de matrices

En muchas ocasiones encontrarás matrices formadas con los mismos elementos pero dispuestos en diferentes posiciones, como en el caso de las siguientes matrices:

\left(\begin{array}{ccc}{1}&{4}&{0}\\{5}&\sqrt{2}&{5}\end{array}\right),\,\,\left(\begin{array}{cc}{4}&\sqrt{3}\\{2}&{1}\\{0}&{5}\end{array}\right),\,\,\left(\begin{array}{cccccc}{5}&{1}&{2}&{4}&{0}&\sqrt{3}\end{array}\right),\,\,\left(\begin{array}{c}{2}\\{0}\\{4}\\\sqrt{3}\\{5}\\{1}\end{array}\right)

También tropezarás con matrices de igual tamaño pero los elementos que están en la misma posición; es decir, en la misma fila y columna tienen valores distintos, como por ejemplo:

\left(\begin{array}{ccc}{4}&{1}&{0}\\{2}&\sqrt{3}&{5}\end{array}\right),\,\,\left(\begin{array}{ccc}{1}&{4}&{0}\\{2}&\sqrt{3}&{5}\end{array}\right),\,\,\left(\begin{array}{ccc}{3}&{-2}&{1}\\{9}&{0}&{0}\end{array}\right)

En ambos casos, las matrices no son iguales a pesar de poseer los mismos elementos y a veces el mismo tamaño.

¿Cuándo dos matrices son iguales?

Se dice que A=(A_{ij})_{m \times n} y B=(B_{ij})_{p \times q} son dos matrices iguales, denotado por A=B, si y solo si m=p,n=q\wedge A_{ij}=B_{ij} \forall _{i},\forall _{j}; es decir:

\large A=\left(\begin{array}{cccc}\color{magenta}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&{A_{\color{blue}{m}\color{magenta}{n}}}\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\color{magenta}B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1q}\\B_{21}&B_{22}&\cdots&B_{2q}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\B_{p1}&B_{p2}&\cdots&{B_{\color{blue}{p}\color{magenta}{q}}}\\\end{array}\right)=B

Por lo tanto, dos matrices A y B son iguales cuando son del mismo tamaño y los elementos que están en la misma posición en ambas matrices, llamados elementos correspondientes, son iguales. Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

1. Si tienes que A=\left(\begin{array}{ccc}{-1}&{5}&{4}\\\frac{3}{2}&{0}&{8}\end{array}\right),\,B=\left(\begin{array}{ccc}{-1}&{5}\\\frac{3}{2}&{0}\end{array}\right),\,C=\left(\begin{array}{ccc}{-1}&{5}&{4}\\\frac{3}{2}&{0}&{6}\end{array}\right) y D=\left(\begin{array}{ccc}{-1}&{5}\\\frac{3}{2}&{0}\end{array}\right) entonces puedes observar que:

-A\neq B, ya que tienen distintos tamaños, A\in\textit{M}_{2 \times 3} y B\in\textit{M}_{2 \times 2}

-A\neq C, ya que tienen a un elemento correspondiente distinto: A_{23}=8 \neq 6=C_{23}

-A\neq D, ya que tienen distintos tamaños, A\in\textit{M}_{2 \times 3} y D\in\textit{M}_{2 \times 2}

-B\neq C, ya que tienen distintos tamaños, B\in\textit{M}_{2 \times 2} y C\in\textit{M}_{2 \times 3}

-B=D, ya que tienen iguales tamaños: B\in\textit{M}_{2 \times 2} y D\in\textit{M}_{2 \times 2} e iguales elementos correspondientes: B_{11}=D_{11}=-1,\,B_{12}=D_{12}=5,\,B_{21}=D_{21}=\frac{3}{2}\,\, y B_{22}=D_{22}=0

-C\neq D, ya que tienen distintos tamaños, C\in\textit{M}_{2 \times 3} y D\in\textit{M}_{2 \times 2}

2. Si A=\left(\begin{array}{ccc}{-1}&\color{magenta}{x}&{4}\\\color{magenta}{y}&{0}&\color{magenta}{z}\end{array}\right) y C=\left(\begin{array}{ccc}{-1}&{5}&{4}\\\frac{3}{2}&{0}&{6}\end{array}\right) entonces para que A=C deben tener el mismo tamaño, que lo tienen pues son de tamaño 2 \times 3, y además debe cumplirse que los elementos correspondientes sean iguales; es decir, los valores de los parámetros \color{magenta}{x}, \color{magenta}{y} y \color{magenta}{z} deben ser:

x=5,\,\,y=\frac{3}{2} y z=6

Ejercicios

Importante

Si la respuesta de tu ejercicio no es la misma que ésta, entonces es posible que hayas cometido un error al resolver el sistema resultante de ecuaciones lineales. Revísalo.

1. Determina, en cada inciso, los valores de x, y y z para que las matrices sean iguales.

a. \left(\begin{array}{c}{x+y-2z}\\{2x-y+z}\\{x+y+z}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}{-4}\\{5}\\{2}\\\end{array}\right)

Solución

x=1; y=-1; z=2

b. \left(\begin{array}{ccc}{4+3x}&{0}&{0}\\{8+5x+y}&{1+z}&{0}\\ {-12-9x-y}&{-z}&{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right)

Solución

x=-1; y=-3; z=0

c. \left(\begin{array}{ccc}{-x+2y+z}\\{x-y+z}\\{x-2y-z}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cccc}{1}\\{5}\\{0}\\\end{array}\right)

Solución

No existen valores para x, y y z para que las matrices sean iguales.

2. Demuestra, en cada inciso, la desigualdad matricial.

a. \left(\begin{array}{ccc}{x+y}&{x+y}\\{-y+x}&{x+z}\end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{ccc}{1}&{1}\\{1}&{3}\end{array}\right)

Solución

Suponiendo que las dos matrices son iguales, es decir \left(\begin{array}{ccc}{x+y}&{x+y}\\{-y+z}&{x+z}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc}{1}&{1}\\{1}&{3}\end{array}\right) entonces sus tamaños y los elementos correspondientes son iguales, resultando que:

\left\{ \begin{array}{c}{x+y=1}\\{x+y=1}\\{-y+z=1}\\{x+y=3}\end{array}

Al resolver el sistema resultante no homogéneo de ecuaciones lineales, encuentras que no tiene solución. Por lo tanto, no existen valores del parámetro para que las matrices sean iguales y por lo tanto, se cumple la desigualdad matricial.

b. \left(\begin{array}{ccc}{x+y-2z}\\{-x-y+z}\\{x+y+z}\end{array}\right)\neq\left(\begin{array}{cccc}{-4}\\{5}\\{2}\\\end{array}\right)

Solución

Suponiendo que las dos matrices son iguales, es decir \left(\begin{array}{c}{x+y-2z}\\{-x-y+z}\\{x+y+z}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}{-4}\\{5}\\{2}\\\end{array}\right) entonces sus tamaños y los elementos correspondientes son iguales, resultando que:

\left\{ \begin{array}{c}{x+y-2z=-4}\\{-x-y+z=5}\\{x+y+z=2}\end{array}

Al resolver el sistema resultante no homogéneo de ecuaciones lineales, encuentras que no tiene solución. Por lo tanto, no existen valores del parámetro para que las matrices sean iguales y por lo tanto, se cumple la desigualdad matricial.