Elementos de un triángulo

Un triángulo está conformado por una serie de elementos, los cuales son: vértices, lados, perímetro, ángulos, ángulo exterior, interior del triángulo y exterior del triángulo.

Analicemos a continuación cada uno de estos elementos por separado.

Vértices

Los puntos no alineados que definen al triángulo van a ser sus vértices, estarán representados generalmente por las primeras letras del alfabeto en mayúscula.

Notación: es similar a la de los puntos en el plano, es decir, letras mayúsculas.

El ejemplo de notación que puedes observar también en la definición del triángulo te permite verificar cómo se denotan los vértices de cada triángulo.

Notación: \ \ \ \ \ \ \triangle DEF\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \triangle ABC\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \triangle GHI

Vértices del primer triángulo: D, E, F

Vértices del segundo triángulo: A, B, C

Vértices del tercer triángulo: G, H, I

Ejemplos de notación

Notación: \ \ \ \ \ \ \triangle DEF\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \triangle ABC\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \triangle GHI

Lados

Son los segmentos cuyos extremos son los vértices del triángulo.

Notación: es similar a la notación de segmentos en el plano.

En el ejemplo de notación que encuentras al estudiar los vértices puedes verificar cómo se denotan los lados de cada triángulo.

\overline{AB}, \overline{AC} y \overline{BC} son los lados del \triangle ABC.

Otra forma de notación, considerando la longitud del segmento, utiliza los extremos del segmento AB o una letra minúscula. Esta letra será igual a la que identifica el vértice al que se opone el lado identificado.

En este mismo ejemplo de notación puedes observar cómo la medida del segmento \overline{AB} puede denotarse por la letra c, esto es: m(\overline{AB}) = AB = c.

Se lee entonces: medida del segmento \overline{AB} es igual a AB o es igual a c.

Igualmente aplica para m(\overline{AC}) = AC = b y para m(\overline{BC}) = BC = a.

Perímetro

Ahora bien, si en un triángulo \triangle ABC sumamos sus lados, obtenemos otro segmento cuya longitud es la suma de los tres lados del triángulo.

A esto se le conoce con el nombre de perímetro y se simboliza con 2P. Este perímetro se calcula fácilmente mediante P=a+b+c.

Perímetro del triángulo

Arrastra el punto A hasta el punto morado, y el punto C hasta el punto rojo.

Cálculo de perímetros

Ahora te invitamos a que apliques los conocimientos que has adquirido en este tópico.

Halla el perímetro de los triángulos que se dan a continuación:

Ver respuestas

1. P\ \triangle GHI = 2 + 3.5 + 4.01 = 9.51

2. P\ \triangle BAC = 6 + 4 + 3.2 = 13.2

3. P\ \triangle EDF = 6.29 + 7.03 + 7.81 = 21.13

Ángulos del triángulo

Ya aprendimos que para dibujar un triángulo necesitamos reunir tres segmentos cuyos extremos son tres puntos no alineados.

Recordemos ahora que todo ángulo \angle ABC se forma a partir de dos semirrectas de origen común.

Así, \angle ABC es un ángulo porque las semirrectas \vec{BA} y \vec{BC} tienen un origen común B y denotaremos su medida angular con la letra griega \alpha.


Por lo tanto, si necesitáramos dibujar los ángulos de un triángulo, tendríamos que mostrar las semirrectas que contienen cada lado, de la siguiente forma:

Lo cual hasta visualmente es un obstáculo.

En la práctica, para asimilar el concepto de ángulo del triángulo debemos guardar en nuestra imaginación cada semirrecta, ya que los lados son segmentos y éstos son parte de semirrectas, las cuales a su vez, son lados de cada ángulo.

Asumimos entonces que cada dos lados, a pesar de ser segmentos, determinan un ángulo. Esto te parecerá contradictorio, pero es necesario.


Estudiemos el siguiente ejemplo.

Ángulos del triángulo

Observa que la letra que se encuentra en el centro de la notación de cada ángulo representa el vértice del mismo, el cual también es vértice del triángulo.

Por esto, en la práctica no importa tanto por dónde comiences o por dónde termines a nombrar al ángulo, es decir, tanto \angle BAC como \angle CAB representan el ángulo ubicado en el vértice A ya que esta letra es la que va al medio.

Además, no debe ser cambiada de ese lugar porque el vértice del ángulo se asociará con la letra del centro.

Tips de notación de ángulos

Algunas veces encontrarás que se utiliza la letra correspondiente a cada vértice con una especie de "techo", tales como: \hat{A}, \hat{B}, \hat{C}; o sencillamente con letras del alfabeto griego: \alpha, \beta, \gamma, las cuales en sí mismas representan la medida del ángulo que identifican.

Puntos del triángulo, interior y exterior del mismo

Vamos ahora a aprender otros conceptos claves relacionados con los elementos de un triángulo, como lo son su interior y su exterior.

En la vida diaria identificas con facilidad cuándo estás en el interior de tu hogar, porque estás limitado por paredes o un cercado; una vez que sales a la calle afirmas que estás en el exterior de tu hogar.

En forma similar, un triángulo representa un cercado o límite, que separa al plano en regiones de puntos. Por esto, al dibujar un triángulo en un plano se determinan tres grandes grupos de puntos: los puntos del triángulo, los puntos de su interior y los puntos del exterior.

Ahora pasaremos a estudiar más detalladamente cada uno de estos tres grupos de puntos:

Los puntos del triángulo, formados por los vértices y todos los puntos que forman cada lado, es lo que se define como triángulo.


Los puntos encerrados por los lados del triángulo, corresponden al interior del mismo.


Los puntos que no pertenecen al triángulo ni a su interior comprenden el exterior del mismo.

Otro sitio de interés: Triángulos del portal educativo Ceibal.

Ángulo exterior

Hasta acá hemos estudiado los aspectos relacionados con el triángulo y sus elementos: vértices, lados, perímetro, ángulos, interior y exterior de esta figura plana de gran importancia.

Otro concepto que necesitas tener claro para tus estudios posteriores de Geometría en Ingeniería es el de ángulo exterior.

Ensayemos en un triángulo, construyendo el [text:ángulo adyacente;blue;] a cada ángulo del triángulo.

Para lograr esto, prolonguemos el lado \overline{BC} del \triangle ABC hacia su derecha, con D en \vec{BC}

Se forma así el ángulo \angle ACD, el cual es un ángulo adyacente al \angle ACB del \triangle ABC.


Si prolongamos ahora el lado \overline{AB} con E en \vec{AB} se forma el \angle CBE, el cual es un ángulo adyacente al \angle ABC.

Por último, si prolongamos el lado \overline{CA} y tomamos F en \vec{CA}, obtenemos el \angle BAF, el cual es adyacente al \angle BAC.

Comparando los ángulos \angle ACD, \angle CBE y \angle BAF, notamos que tienen una característica común: uno de los lados es una semirrecta que contiene un lado del triángulo y el otro es un lado del triángulo.

Esta observación nos permite definir entonces cada ángulo exterior como un ángulo adyacente a un ángulo del triángulo.

Se forman así los tres ángulos exteriores del \bigtriangleup ABC.

Ejemplo de ángulo exterior

\angle DFG es un ángulo adyacente al \angle DFE, por lo tanto es un ángulo exterior del \bigtriangleup DEF.

\angle EDH es un ángulo adyacente al \angle EDF, por lo tanto es un ángulo exterior del \bigtriangleup DEF.

\angle FEI es un ángulo adyacente al \angle DEF, por lo tanto es un ángulo exterior del \bigtriangleup DEF.

Autoevaluación

Las siguientes proposiciones tienen cada una 4 alternativas de respuesta.

Elige la opción que consideres correcta.

Ejercicio 1: Definición de triángulo

Por dos puntos distintos puede pasar:

a. Una recta.

b. Tres rectas.

c. No es posible.

d. Ninguna de las anteriores.

Solución

Opción a.

Ejercicio 2: Definición de triángulo

Los segmentos cuyos extremos son tres puntos no alineados determinan:

a. Una línea recta.

b. Un segmento.

c. Un triángulo.

d. Ninguna de las anteriores.

Solución

Opción c.

Ejercicio 3: Perímetro de triángulo

Al sumar las longitudes de los tres lados de un triángulo, obtenemos su:

a. Área.

b. Perímetro.

c. Longitud.

d. Ninguna de las anteriores.

Solución

Opción b.

Ejercicio 4: Lados del triángulo

En un \bigtriangleup ABC, el segmento \overline{BC} mide:

a. a.

b. A.

c. b.

d. c.

Solución

Opción a.

Ejercicio 5: Ángulos del triángulo

En un triángulo de vértice D y lados \overline{DE} y \overline{DF}, el ángulo de vértice en E se denota:

a. \angle EDF.

b. \angle DEF.

c. \angle DFE.

d. Ninguna de las anteriores.

Solución

Opción b.

Ejercicio 6: Ángulos exteriores del triángulo

En la figura, uno de los ángulos exteriores es:

a. \angle FBE.

b. \angle DCA.

c. \angle BAG.

d. Ninguna de las anteriores.

Solución

Opción b.

Ejercicio 7: Lados del triángulo

En un \bigtriangleup ABC, la medida del segmento opuesto al vértice C, se simboliza:

a. a.

b. b.

c. c.

d. Ninguna de las anteriores.

Solución

Opción c.

Ejercicio 8: Puntos del triángulo

Los puntos que se destacan en la figura pertenecen al:

a. Interior del triángulo.

b. Exterior del triángulo.

c. Triángulo.

d. Ninguna de las anteriores.

Solución

Opción b.

Ejercicio 9: Lados del triángulo

Si del \bigtriangleup ABC tomamos la medida del lado \overline{AC}, la podemos representar por:

a. a.

b. b.

c. c.

d. Ninguna de las anteriores.

Solución

Opción b.

Ejercicio 10: Definición de triángulo

Con cuatro puntos en un plano, según estén todos alineados, sólo tres alineados ó dos a dos alineados, pueden obtenerse:

a. Sólo una recta.

b. Mínimo una recta y un máximo de 4 rectas.

c. Una recta, 4 rectas y hasta 6 rectas.

d. Ninguna de las anteriores.

Solución

Opción c.

Resumen

Un triángulo está conformado por una serie de elementos, los cuales son: vértices, lados, perímetro, ángulos, ángulo exterior, interior del triángulo y exterior del triángulo.

Los vértices son los puntos no alineados que definen al triángulo.

Los lados son los segmentos cuyos extremos son los vértices del triángulo.

El perímetro es el segmento cuya longitud es la suma de los tres lados del triángulo.

Los ángulos son aquellos formados a partir de cada dos lados adyacentes del triángulo. Aunque estos lados son segmentos, también son parte de semirrectas de origen común, por lo cual se consideran que forman ángulos cuyos vértices son los vértices del triángulo.

Un ángulo exterior es el ángulo adyacente a un ángulo del triángulo.

El interior del triángulo está compuesto por los puntos encerrados por los lados del mismo.

El exterior del triángulo está compuesto por los puntos que no pertenecen al triángulo en sí, ni a su interior.