Adición de matrices

Álgebra matricial

Una matriz se forma a partir de un conjunto finito de informaciones, el cual se archiva o almacena de una manera ordenada y con el fin de tener acceso a él cuando se requiera. Una vez arreglada en forma matricial, generalmente, se le aplican operaciones aritméticas de manera similar como se operan en los números reales, con el objetivo de adquirir resultados utilizables.

Estas operaciones son gobernadas por ciertas reglas, conocidas como Álgebra Matricial.

Veremos cuatro operaciones usuales definidas en el conjunto de las matrices: adición, multiplicación de un escalar, multiplicación y transposición.

¿Cómo se suman dos matrices?

Adición de matrices

La adición de dos matrices A y B se define como la suma entre los elementos correspondientes de A y B, cuyos resultados se arreglan en una nueva matriz A+B, llamada matriz suma, conservando la posición de los sumandos.

También la operación adición de matrices se puede definir en notación matricial como:

Si A\wedge B\in{M}_{m \times n}\Rightarrow A_{ij}+B_{ij}=[A+B]_{ij}\Rightarrow (A+B)\in\mathcal{M}_{m \times n}

A=\left(\begin{array}{cccccc}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1j}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2j}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{i1}&A_{i2}&\cdots&A_{ij}&\cdots&A_{in}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}&A_{m2}&\cdots&A_{mj}&\cdots&A_{mn}\end{array}\right)\,\,,\,\, B=\left(\begin{array}{cccccc}B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1j}&\cdots&B_{1n}\\B_{21}&B_{22}&\cdots&B_{2j}&\cdots&B_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\B_{i1}&B_{i2}&\cdots&B_{ij}&\cdots&B_{in}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\B_{m1}&B_{m2}&\cdots&B_{mj}&\cdots&B_{mn}\end{array}\right)


A+B=\left(\begin{array}{cccccc}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots&A_{1j}+B_{1j}&\cdots&A_{1n}+B_{1n}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots&A_{2j}+B_{2j}&\cdots&A_{2n}+B_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{i1}+B_{i1}&A_{i2}+B_{i2}&\cdots&A_{ij}+B_{ij}&\cdots&A_{in}+B_{in}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\cdots&\vdots\\A_{m1}+B_{m1}&A_{m2}+B_{m2}&\cdots&A_{mj}+B_{mj}&\cdots&A_{mn}+B_{mn}\end{array}\right)

Como puedes observar, la manera cómo se define la adición de matrices obliga al número de elementos de las filas y de las columnas de la primera matriz ser igual al de la segunda.

Además, el hecho que los resultados se arreglen matricialmente respetando la posición de los sumandos, origina una nueva matriz del mismo tamaño de las participantes.

En consecuencia, la adición de matrices es una operación interna ya que sólo pueden sumarse matrices del mismo conjunto y además, es una operación cerrada porque su resultado es una matriz del mismo conjunto.

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

1. Si \left(\begin{array}{ccc}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{ccc}B_{11}&B_{12}&B_{13}\\B_{21}&B_{22}&B_{23}\end{array}\right),

entonces para encontrar la matriz resultante de la operación adición, se suma el elemento que está en la fila 1 y columna 1 de la primera matriz con el elemento que está en la fila 1 y columna 1 de la segunda matriz (elementos correspondientes), cuyo resultado se arregla en la fila 1 y columna 1 de la matriz suma y así sucesivamente hasta sumar todos los elementos correspondientes de ambas matrices:

\left(\begin{array}{ccc}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{ccc}B_{11}&B_{12}&B_{13}\\B_{21}&B_{22}&B_{23}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&A_{13}+B_{13}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&A_{23}+B_{23}\end{array}\right)

2. Si A=\left(\begin{array}{ccc}1&3\\-2&5\\-1&0\end{array}\right)\wedge B= \left(\begin{array}{ccc}0&8\\-2&1\\0&4\end{array}\right)

entonces para encontrar la matriz resultante de la operación adición, se suma el elemento que está en la fila 1 y columna 1 de A con el elemento que está en la fila 1 y columna 1 de B (elementos correspondientes), cuyo resultado se arregla en la fila 1 y columna 1 de la matriz A+B y así sucesivamente hasta sumar todos los elementos correspondientes de ambas matrices:

A_{11}+B_{11}=1+0=1=[A+B]_{11}

A_{12}+B_{12}=3+8=11=[A+B]_{12}

A_{21}+B_{21}=-2+(-2)=-4=[A+B]_{21}

A_{22}+B_{22}=5+1=6=[A+B]_{22}

A_{31}+B_{31}=-1+0=-1=[A+B]_{31}

A_{32}+B_{32}=0+4=4=[A+B]_{32}

\wedge B= \left(\begin{array}{ccc}1&11\\-4&6\\-1&4\end{array}\right)

Para hallar la matriz suma de una forma directa

Una vez que manejes bien la definición, no hay necesidad que hagas aparte las sumas de los elementos correspondientes y luego formes la matriz, sino que puedes hacer las sumas entre los números reales de manera directa y colocas, en una matriz, el resultado en la misma posición de los sumandos.

Actividad

Pulsa en el siguiente enlace para ver un ejemplo interesante sobre Adición de matrices

Ejercicios propuestos

Determina las sumas indicadas de las matrices que se presentan. En caso que no sea posible, justifica.

1. \left(\begin{array}{ccc}4&-1\\0&3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1&5&-3\\4&8&-2\\0&1&1\end{array}\right)

Solución

No se pueden sumar ya que las matrices son de distinto tamaño.

2. \left(\begin{array}{ccc}1\\-3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}-2\\4\end{array}\right)

Solución

\left(\begin{array}{ccc}-1\\1\end{array}\right)

3. \left(\begin{array}{ccc}4&-1\\8&0\\3&-2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}-4&-13\\-6&3\\1&8\end{array}\right)

Solución

\left(\begin{array}{ccc}0&-14\\2&3\\4&6\end{array}\right)

4. \left(\begin{array}{ccc}1&-1&2\end{array}\right)+ \left(\begin{array}{ccc}3&8\end{array}\right)

Solución

No se pueden sumar ya que las matrices son de distinto tamaño.

Generalmente, la naturaleza de los elementos de una matriz es un número cualquiera; por lo tanto, muchas propiedades del álgebra en los números son válidas para las matrices. Sin embargo, como notarás, las propiedades de algunas operaciones difieren de manera importante debido a cómo se definen las operaciones en las matrices. Por ahora, veamos las propiedades que cumple la adición de matrices.

Propiedades de la adición de matrices

Si A,B,C,O\wedge(-A)\in{M}_{m \times n} entonces la operación adición de matrices cumple con las propiedades:

a. Conmutatividad: El orden de las matrices sumandos no altera la matriz suma; es decir, si se escribe en notación matricial es: A+B=B+A

Ejemplo

Si A=\left(\begin{array}{ccc}1&3\\-2&5\\-1&0\end{array}\right) \wedge B=\left(\begin{array}{ccc}0&8\\-2&1\\0&4\end{array}\right)

\Rightarrow A+B=\left(\begin{array}{ccc}1+0&3+8\\-2+(-2)&5+1\\-1+0&0+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&11\\-4&6\\-1&4\end{array}\right)

\wedge B+A=\left(\begin{array}{ccc}0+1&8+3\\-2+(-2)&1+5\\0+(-1)&4+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&11\\-4&6\\-1&4\end{array}\right)

Lo que verifica que: A+B=B+A

b. Asociatividad: El orden de varias matrices sumandos no altera la matriz suma; es decir, si se escribe en notación matricial es: (A+B)+C=A+(B+C)

Ejemplo

Si A=\left(\begin{array}{ccc}1&3\\-2&5\\-1&0\end{array}\right) , B=\left(\begin{array}{ccc}0&8\\-2&1\\0&4\end{array}\right) \wedge \text{y} C=\left(\begin{array}{ccc}-1&-8\\2&0\\-3&6\end{array}\right)

\Rightarrow (A+B)+C=\left(\left(\begin{array}{cc}1&3\\-2&5\\-1&0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0&8\\-2&1\\0&4\end{array}\right)\right)+\left(\begin{array}{cc}-1&-8\\2&0\\-3&6\end{array}\right)

=\left(\begin{array}{cc}1&11\\-4&6\\-1&4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-1&-8\\2&0\\-3&6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&3\\-2&6\\-4&10\end{array}\right)

A+(B+C)=\left(\begin{array}{cc}1&3\\-2&5\\-1&0\end{array}\right)+\left(\left(\begin{array}{cc}0&8\\-2&1\\0&4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-1&-8\\2&0\\-3&6\end{array}\right)\right)

=\left(\begin{array}{cc}1&3\\-2&5\\-1&0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\\-3&10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&3\\-2&6\\-4&10\end{array}\right)

Lo que verifica que: (A+B)+C=A+(B+C)

c. Existencia y unicidad del elemento neutro: La única matriz que no altera a una matriz cualquiera para obtener la matriz suma es la matriz nula del mismo tamaño; es decir, si se escribe en notación matricial es:

\forall A\in \mathcal{M}_{m \times n}\exists!0\in\mathcal{M}_{m \times n}/A+0=A

Ejemplo

Si A=\left(\begin{array}{cc}1&3\\-2&5\\-1&0\end{array}\right)\exists !{O}_{3 \times 2}=\left(\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\\0&0\end{array}\right)/\left(\begin{array}{ccc}1&3\\-2&5\\-1&0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0&0\\0&0\\0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&3\\-2&5\\-1&0\end{array}\right)

Lo que verifica que: \forall A\in \mathcal{M}_{m \times n}\exists!0\in\mathcal{M}_{m \times n}/A+0=A

d. Existencia y unicidad del elemento simétrico: Para cualquier matriz existe una única matriz, aquella de su mismo tamaño y con sus elementos de signo contrario, denotada como (-A), que no altera que la matriz suma sea la matriz nula; es decir, si se escribe en notación matricial es:

\exists!(-A)\in \mathcal{M}_{m \times n}\forall A\in\mathcal{M}_{m \times n}/A+(-A)=0

Ejemplo

\exists !-A=\left(\begin{array}{cc}-1&-3\\2&-5\\1&0\end{array}\right) \text{para} A=\left(\begin{array}{cc}1&3\\-2&5\\-1&0\end{array}\right)/\left(\begin{array}{cc}1&3\\-2&5\\-1&0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-1&-3\\2&-5\\1&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\\0&0\end{array}\right)

Lo que verifica que: \exists!(-A)\in \mathcal{M}_{m \times n}\forall A\in\mathcal{M}_{m \times n}/A+(-A)=0

Actividad

A continuación te presentamos una dirección electrónica para que realices sus actividades respectivas a las propiedades de la adición de matrices: Cálculo matricial.